حل سوال 5تا 7 تمرین صفحه 151 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم سلام! تابع $\mathbf{f(x) = [x]}$ (جزء صحیح) یک تابع پله‌ای است که در **تمام اعداد صحیح** ناپیوسته است. برای اینکه تابع در یک **بازه باز** $\mathbf{(a, k)}$ پیوسته باشد، آن بازه **نباید شامل هیچ عدد صحیحی** باشد. 🧠 --- ### ۱. نقاط ناپیوستگی تابع $f(x) = [x]$ نقاط ناپیوستگی تابع جزء صحیح، اعداد صحیح هستند: $\mathbf{\dots, -۱, ۰, ۱, ۲, ۳, ۴, \dots}$ ### ۲. بررسی بازه $(۲, k)$ * **شروع بازه**: بازه از $athbf{x=۲}$ شروع می‌شود (و ۲ در بازه باز نیست). * **اولین نقطه ناپیوستگی بعد از ۲**: اولین عدد صحیح بعد از ۲، عدد $athbf{۳}$ است. * **شرط پیوستگی**: برای اینکه تابع در تمام بازه $(۲, k)$ پیوسته باشد، باید $k$ به گونه‌ای باشد که **اولین عدد صحیح ناپیوسته (یعنی ۳)** در داخل این بازه قرار نگیرد. ### ۳. تعیین حداکثر $k$ اگر $athbf{k}$ برابر با $athbf{۳}$ باشد، بازه $athbf{(۲, ۳)}$ می‌شود. * **در بازه $(۲, ۳)$**: $[x] = ۲$. ضابطه تابع $f(x) = [x] = ۲$ است که یک تابع ثابت است و پیوسته است. اگر $k > ۳$ باشد (مثلاً $k=۳.۱$)، بازه $(۲, ۳.۱)$ شامل $athbf{۳}$ می‌شود و تابع در $x=۳$ ناپیوسته است. **نتیجه**: حداکثر مقدار $k$ که باعث می‌شود تابع در بازه $(۲, k)$ پیوسته باقی بماند، $athbf{۳}$ است. $$\mathbf{\text{حداکثر } k = ۳}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم سلام! برای پیدا کردن بازه‌ای که یک **تابع رادیکالی** روی آن پیوسته باشد، ابتدا باید **دامنه تابع** را مشخص کنیم. توابع رادیکالی در دامنه خود پیوسته هستند. 🧠 --- ### ۱. تعیین دامنه تابع ($D_f$) تابع $f(x) = ۲ - \sqrt{۳ - x}$ شامل رادیکال با فرجه زوج است. عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد: $$۳ - x \ge ۰ \implies ۳ \ge x \implies x \le ۳$$ $$\mathbf{D_f = (-\infty, ۳]}$$ ### ۲. پیوستگی در بازه بسته تابع $f(x) = ۲ - \sqrt{۳ - x}$ یک تابع رادیکالی است و در تمام دامنه خود $\mathbf{(-\infty, ۳]}$ پیوسته است. * **شرط پیوستگی در بازه بسته $[a, b]$**: تابع باید در $(a, b)$ پیوسته باشد و در $a$ از راست و در $b$ از چپ پیوسته باشد. ### ۳. ارائه بازه بسته ما می‌توانیم هر بازه بسته‌ای که زیرمجموعه دامنه $(-\infty, ۳]$ باشد را انتخاب کنیم. * **پیوستگی از راست در $a$**: برای هر $a < ۳$, تابع در $a$ پیوسته است. * **پیوستگی از چپ در $b$**: برای $b=۳$: * $f(۳) = ۲ - \sqrt{۳ - ۳} = ۲$. * $\lim_{x \to ۳^-} f(x) = ۲ - \sqrt{۳ - ۳} = ۲$. * تابع در $x=۳$ از چپ پیوسته است. $\checkmark$ **بازه پیشنهادی (هر بازه $\mathbf{[a, 3]}$)**: $$\mathbf{[۰, ۳]} \quad \text{یا} \quad \mathbf{[-۱, ۳]}$$ **نتیجه**: ساده‌ترین بازه بسته پیشنهادی که شامل نقاط ناپیوستگی نیست، $\mathbf{[۰, ۳]}$ است. ---

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم سلام! تابع در $\mathbf{x = ۰}$ پیوسته است اگر $\mathbf{\lim_{x \to ۰^-} f(x) = \lim_{x \to ۰^+} f(x) = f(۰)}$ باشد. 🤝 --- ### گام اول: محاسبه حد راست ($athbf{x \to ۰^+}$) * **ضابطه**: $f(x) = \frac{۱ - \cos x}{x^۲}$. حد مبهم $\frac{۰}{۰}$. * **استفاده از قانون حد مثلثاتی**: $\lim_{x \to ۰} \frac{۱ - \cos x}{x^۲} = \mathbf{\frac{۱}{۲}}$. $$\mathbf{\lim_{x \to ۰^+} f(x) = \frac{۱}{۲}}$$ ### گام دوم: محاسبه حد چپ ($athbf{x \to ۰^-}$) * **ضابطه**: $f(x) = x - ۲a$. * **محاسبه**: $\lim_{x \to ۰^-} (x - ۲a) = ۰ - ۲a = \mathbf{-۲a}$ ### گام سوم: محاسبه مقدار تابع ($f(۰)$) * **مقدار**: $\mathbf{f(۰) = b - ۱}$ ### گام چهارم: اعمال شرط پیوستگی حد چپ $=$ حد راست $=$ مقدار تابع: $$\mathbf{\lim_{x \to ۰^-} f(x) = \lim_{x \to ۰^+} f(x)}$$ $$\mathbf{-۲a = \frac{۱}{۲}} \implies a = \frac{۱}{۲} \times (-\frac{۱}{۲}) \implies \mathbf{a = -\frac{۱}{۴}}$$ و مقدار تابع باید برابر حد باشد: $$\mathbf{f(۰) = \lim_{x \to ۰} f(x)}$$ $$\mathbf{b - ۱ = \frac{۱}{۲}} \implies b = ۱ + \frac{۱}{۲} \implies \mathbf{b = \frac{۳}{۲}}$$ **نتیجه**: $$\mathbf{a = -\frac{۱}{۴} \quad \text{و} \quad b = \frac{۳}{۲}}$$